22.7 C
Athens
Παρασκευή 29 Μαρτίου 2024

Fractal: Η μαγεία των Μαθηματικών

Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν “απείρως περίπλοκο”.

Το φράκταλ παρουσιάζεται ως “μαγική εικόνα” που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.

Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει αριθμητική, μαθηματική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασμό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη μορφή τους, δηλαδή εμφανίζουν ανωμαλίες στη μορφή σε σχέση με τα συμβατικά γεωμετρικά σχήματα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτομέρειες, οι οποίες όμως γίνονται ορατές μόνο ύστερα από μεγέθυνσή τους σε κάποια κλίμακα.

Για να γίνει αντιληπτός αυτός ο διαχωρισμός των φράκταλ σε σχέση με την ευκλείδεια γεωμετρία, αναφέρουμε ότι, αν μεγεθύνουμε κάποιο αντικείμενο το οποίο μπορεί να οριστεί με την ευκλείδεια γεωμετρία, παραδείγματος χάριν την περιφέρεια μιας έλλειψης, αυτή έπειτα από αλλεπάλληλες μεγεθύνσεις θα εμφανίζεται απλά ως ευθύγραμμο τμήμα. Η συμβατική ιδέα της καμπυλότητας η οποία αντιπροσωπεύει το αντίστροφο της ακτίνας ενός προσεγγίζοντος κύκλου, δεν μπορεί ωφέλιμα να ισχύσει στα φράκταλ επειδή αυτή εξαφανίζεται κατά τη μεγέθυνση. Αντίθετα, σε ένα φράκταλ, θα εμφανίζονται κατόπιν μεγεθύνσεων λεπτομέρειες που δεν ήταν ορατές σε μικρότερη κλίμακα μεγέθυνσης.

Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων.

Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που σημαίνει “σπασμένος”, “κατακερματισμένος”.

 

 

Για να κατανοήσουμε καλύτερα την αναγκαιότητα εισαγωγής των φράκταλ αναφέρουμε το εξής παράδειγμα:

Η περίμετρος ενός νησιού εννοείται ότι είναι ορισμένη. Ωστόσο, αν χρησιμοποιήσουμε την ακρίβεια ενός μέτρου για να τη μετρήσουμε, θα τη βρούμε μικρότερη από ότι πραγματικά είναι γιατί δεν θα μπορέσουμε να μετρήσουμε τις κοιλότητες που είναι μικρότερες του ενός μέτρου. Αν μετρήσουμε με ακρίβεια ενός εκατοστού, πάλι θα χάσουμε ορισμένες κοιλότητες. Έτσι καταλήγουμε σε απειροστά μικρή μονάδα μέτρησης και η περίμετρος του νησιού θα γίνει άπειρη. Η επιφάνεια όμως του νησιού, η έκτασή του δηλαδή, είναι ορισμένη. Το παράδοξο αυτό, το οποίο η Ευκλείδεια Γεωμετρία αδυνατεί να εξηγήσει, αντιμετωπίζεται με τα φράκταλ.

 

 

***

Benoît B. Mandelbrot: Ο μαθηματικός της «τέχνης της τραχύτητας» και των «ακανόνιστων στοιχείων»

***

Ο Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoît Mandelbrot) γεννήθηκε στη Βαρσοβία κατά τη διάρκεια της Δεύτερης Δημοκρατίας της Πολωνίας. Η οικογένειά του ήταν εβραϊκής καταγωγής. Αν και ο πατέρας του για τα προς το ζην ασχολούνταν με το εμπόριο ρούχων, η οικογένειά του είχε μια ισχυρή ακαδημαϊκή παράδοση και η μητέρα του ήταν χειρουργός οδοντίατρος. Για πρώτη φορά μυήθηκε στα μαθηματικά από δύο θείους του, ο ένας από τους οποίους, ο Szolem Mandelbrot, ήταν μαθηματικός που κατοικούσε στο Παρίσι. Σύμφωνα με την αυτοβιογραφία του Μάντελμπροτ, «η αγάπη του [Szolem] ήταν τα μαθηματικά».

Οικογενειακώς μετανάστευσαν από την Πολωνία στη Γαλλία το 1936, όταν ήταν 11. Σύμφωνα με τα γραφόμενά του, «το γεγονός ότι οι γονείς μου, ως οικονομικοί και πολιτικοί πρόσφυγες, βρήκαν και έζησαν με τον Szolem στη Γαλλία έσωσε τη ζωή μας».

Ο Μάντελμπροτ φοίτησε στο Lycée Rolin στο Παρίσι μέχρι την έναρξη του Β’ Παγκοσμίου Πολέμου, έως ότου η οικογένειά του μετακόμισε στην Tulle της Γαλλίας. Βοηθήθηκε από το Ραβίνο David Feuerwerker, τον Ραβίνο της Μπριβ – Λα – Γκαγιάρντ, για να συνεχίσει τις σπουδές του. Μεγάλο μέρος της Γαλλίας είχε καταληφθεί από τους Ναζί εκείνη την περίοδο και ο Mandelbrot υπενθυμίζει αυτή την περίοδο:

Ο μόνιμος φόβος μας ήταν ότι ένας αρκετά αποφασισμένος εχθρός μας μπορεί να μας αναφέρει στις αρχές και αυτό να μας οδηγήσει στον θάνατο. Αυτό συνέβη σε έναν στενό μας φίλο από το Παρίσι, τον Zina Morhange, ο οποίος ήταν ένας γιατρός από κοντινή επαρχία. Ένας άλλος ιατρός τον κατήγγειλε απλά για να εξαλείψει τον ανταγωνισμό. Εμείς ξεφύγαμε από αυτή τη μοίρα. Ποιος ξέρει γιατί;

Το 1944, ο Μάντελμπροτ επέστρεψε στο Παρίσι, σπούδασε στο Lycée du Parc στη Λυών, και το 1945 – 1947 φοίτησε στην Πολυτεχνική Σχολή του Παρισιού (École Polytechnique), όπου σπούδασε με καθηγητές τους Γκαστόν Τζούλια (Gaston Julia) και Πωλ Λεβί (Paul Lévy). Την περίοδο 1947 – 1949 σπούδασε στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια, όπου απέκτησε μεταπτυχιακό τίτλο στον τομέα της αεροναυπηγικής. Επιστρέφοντας στη Γαλλία, το 1952, απέκτησε το διδακτορικό του στις Μαθηματικές Επιστήμες στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού.

 

 

Ερευνητικό Έργο

Από το 1949 έως το 1958, ο Μάντελμπροτ ήταν μέλος του μεγαλύτερου ερευνητικού κέντρου της Γαλλίας, του Centre National de la Recherche Scientifique. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου πέρασε ένα χρόνο στο Institute for Advanced Study στο Πρίνστον, στο Νιου Τζέρσεϊ, υπό την χορηγία του Τζον φον Νόιμαν. Το 1955 παντρεύτηκε την Aliette Kagan και μετακόμισε στη Γενεύη στην Ελβετία, και αργότερα στο Πανεπιστήμιο Université Lille Nord de France. Το 1958 το ζευγάρι μετακόμισε στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου ο Μάντελμπροτ εντάχθηκε στο ερευνητικό προσωπικό του κέντρου Τόμας Γουότσον (Thomas J. Watson Research Center) της IBM στο Yorktown Heights της Νέας Υόρκης. Παρέμεινε στην IBM για 35 χρόνια, έγινε αρχικά IBM Fellow, και αργότερα Ομότιμος Εταίρος.

Από το 1951 και μετά, ο Μάντελμπροτ ασχολήθηκε όχι μόνο τον τομέα των μαθηματικών αλλά και με άλλους τομείς εφαρμοσμένων επιστημών όπως τα οικονομικά, η θεωρία της πληροφορίας και η ρευστομηχανική.

Καταστάσεις τυχαιότητας και χρηματοπιστωτικές αγορές

Ο Μάντελμπροτ διαπίστωσε ότι οι μεταβολές των τιμών στις χρηματοπιστωτικές αγορές δεν ακολουθούν μια κανονική κατανομή (γνωστή και ως Γκαουσιανή κατανομή), αλλά μάλλον τις σταθερές κατανομές του Λεβί έχοντας θεωρητικά άπειρη διακύμανση. Βρήκε, για παράδειγμα, ότι οι τιμές του βαμβακιού ακολουθούσαν σταθερή κατανομή Λεβί με την παράμετρο α ίση με 1,7 και όχι 2, όπως σε μία κατανομή Γκάους. Οι “σταθερές” κατανομές έχουν την ιδιότητα ότι το άθροισμα πολλών περιπτώσεων μιας τυχαίας μεταβλητής ακολουθεί την ίδια κατανομή, αλλά με μια παράμετρο μεγαλύτερης κλίμακας.

 

Ο Μάντελμπροτ εξηγεί το Σύνολο Μάντελμπροτ, κατά τη διάρκεια της ομιλίας αποδοχής του ως μέλος του Τάγματος της Λεγεώνας της Τιμής το 2006.

 

Tο 1975, o Μάντελμπροτ επινόησε τον όρο φράκταλ για να περιγράψει αυτές τις δομές και αρχικά δημοσίευσε για πρώτη φορά τις ιδέες του, και αργότερα μετέφρασε, το Fractals: Form, Chance and Dimension. Σύμφωνα με τον επιστήμονα Στίβεν Γούλφραμ, το βιβλίο ήταν μια “επανάσταση” για τον Μάντελμπροτ, όπου μέχρι τότε «εφάρμοζε σχετικά απλά μαθηματικά σε τομείς στους οποίους “σοβαρά” μαθηματικά δεν είχαν εφαρμοστεί στο παρελθόν». Ο Γούλφραμ προσθέτει ότι ως αποτέλεσμα αυτής της νέας του έρευνας, δεν ήταν πλέον ένας «περιπλανώμενος επιστήμονας», και αργότερα τον αποκάλεσε «ο πατέρας των fractals»:

Ο Μάντελμπροτ κατέληξε να εντοπίσει μια πολύ ισχυρότερη και θεμελιώδη ιδέα – με απλά λόγια, κατέληξε στο ότι υπάρχουν ορισμένα γεωμετρικά σχήματα, τα οποία ονόμασε “φράκταλ”, που είναι εξίσου “τραχεία” σε όλες τις κλίμακες. Όσο κοντά και αν τα κοιτάξεις, ποτέ δεν γίνονται απλούστερα, όπως και το τμήμα μιας βραχώδους ακτογραμμής το βλέπουμε στα πόδια μας ακριβώς τόσο οδοντωτό όσο και από το διάστημα.

O Γούλφραμ περιγράφει εν συντομία τα φράκταλς ως μια μορφή γεωμετρικής επανάληψης, «στην οποία όλο και μικρότερα αντίγραφα ενός μοτίβου εμφωλεύονται διαδοχικά το ένα μέσα στο άλλο, έτσι ώστε να εμφανίζονται τα ίδια περίπλοκα σχήματα όσο και αν μεγεθύνονται. Τα φύλλα της φτέρης και το μπρόκολο είναι δύο παραδείγματα από τη φύση». Επισημαίνει επίσης ένα απροσδόκητο συμπέρασμα:

Κάποιος θα φανταζόταν ότι μια τέτοια απλή και θεμελιώδης μορφή κανονικότητας θα είχε μελετηθεί για τις εκατοντάδες, αν όχι χιλιάδες χρόνια. Αλλά αυτό δεν ήταν αλήθεια. Στην πραγματικότητα, ήρθε στο προσκήνιο μόνο τα τελευταία 30 περίπου χρόνια, σχεδόν εξ ολοκλήρου μέσα από τις προσπάθειες ενός ανθρώπου, του μαθηματικού Μπενουά Μάντελμπροτ.

O Μάντελμπροτ χρησιμοποίησε τον όρο «φράκταλ», ο οποίος προέρχεται από τη λατινική λέξη “fractus”, που ορίζεται ως σπασμένο ή κερματισμένο γυαλί. Έχοντας στη διάθεσή του τους προσφάτως ανεπτυγμένους υπολογιστές της IBM, ο Μάντελμπροτ ήταν σε θέση να δημιουργήσει εικόνες φράκταλ χρησιμοποιώντας γραφικά δημιουργούμενα με κώδικα υπολογιστή. Τις εικόνες αυτές ένας ερευνητής τις παρομοιάζει με «τον ξέφρενο ενθουσιασμό της ψυχεδελικής τέχνης της δεκαετίας του 1960 με μορφές που θυμίζουν τη φύση και το ανθρώπινο σώμα». Επίσης, είδε τον εαυτό του ως «επίδοξο Κέπλερ», μετά τον επιστήμονα του 17ου αιώνα Γιοχάνες Κέπλερ, ο οποίος υπολόγισε και περιέγραψε τις τροχιές των πλανητών.

O Μάντελμπροτ, όμως, ποτέ δεν αισθάνθηκε ότι είχε εφεύρει μια νέα ιδέα. Ο ίδιος περιγράφει τα συναισθήματά του σε ένα ντοκιμαντέρ με τον συγγραφέα Άρθουρ Κλαρκ:

Η εξερεύνηση αυτού του συνόλου σίγουρα δεν είχε ποτέ την αίσθηση της εφεύρεσης. Ποτέ δεν είχα την αίσθηση ότι η φαντασία μου ήταν αρκετά πλούσια για να εφεύρει όλα αυτά τα εκπληκτικά πράγματα όταν ανακαλύφθηκαν. Ήταν εκεί, ακόμα κι αν κανείς δεν τα είχε δει πριν. Είναι υπέροχο, μια πολύ απλή φόρμουλα εξηγεί όλα αυτά τα πολύ περίπλοκα πράγματα. Έτσι, ο στόχος της επιστήμης είναι αρχίζοντας από ένα χάος, να το εξηγεί με έναν απλό μαθηματικό τύπο, ένα είδος όνειρο για την επιστήμη.

Σύμφωνα με τον Κλαρκ, “το Σύνολο Μάντελμπροτ είναι πράγματι μία από τις πιο εκπληκτικές ανακαλύψεις σε ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών. Ποιος θα μπορούσε να ονειρευτεί ότι μια τέτοια απίστευτα απλή εξίσωση θα μπορούσε να δημιουργεί εικόνες κυριολεκτικά άπειρης πολυπλοκότητας;”. Ο Κλαρκ σημειώνει επίσης μια «περίεργη σύμπτωση»: “για το όνομα του Mandelbrot, και τη λέξη «μάνταλα» – θρησκευτικό σύμβολο, το οποίο είμαι βέβαιος ότι είναι μια καθαρή σύμπτωση, αλλά πράγματι το σύνολο Μάντελμπροτ φαίνεται να περιέχει έναν τεράστιο αριθμό μάνταλα”.

Ο Μάντελμπροτ αποχώρησε από την IBM το 1987, έπειτα από 35 χρόνια και 12 ημέρες, όταν η IBM αποφάσισε να τερματίσει την έρευνα στο τμήμα του. Εντάχθηκε στο Τμήμα Μαθηματικών στο Γέιλ και έλαβε την πρώτη έδρα το 1999, στην ηλικία των 75. Όταν αποσύρθηκε, το 2005, τελείωσε την καριέρα του ως καθηγητής με έδρα Στέρλινγκ.

 

 

Φράκταλς και η “Θεωρία της Τραχύτητας”

Ο Μάντελμπροτ δημιούργησε την πρώτη “θεωρία της τραχύτητας”, και είδε “τραχύτητα” στα σχήματα των βουνών, των ακτών και των λεκανών απορροής ποταμών, των δομών των φυτών, των αιμοφόρων αγγείων, των πνευμόνων και στην ομαδοποίηση των γαλαξιών. Η προσωπική του αναζήτηση ήταν να δημιουργήσει έναν μαθηματικό τύπο για τη μέτρηση της συνολικής «τραχύτητα» των εν λόγω αντικειμένων στην φύση. Άρχισε ρωτώντας τον εαυτό διάφορα είδη ερωτήσεων που σχετίζονται με τη φύση:

Μπορεί η γεωμετρία να προσφέρει αυτό που η ελληνική ρίζα της λέξης υπόσχεται, δηλαδή αξιόπιστη μέτρηση όχι μόνον των καλλιεργημένων χωραφιών κατά μήκος του ποταμού Νείλου, αλλά και της αδάμαστης γης;

Στη διατριβή του με τίτλο “Πόσο είναι το μήκος των ακτών τις Βρετανίας; Στατιστική αυτοομοιότητα και μορφοκλασματική διάσταση”, η οποία δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Science το 1967, ο Μάντελμπροτ εξετάζει αυτοόμοιες καμπύλες με διάσταση Χάουσντορφ μεταξύ 1 και 2. Αυτές οι καμπύλες είναι παραδείγματα φράκταλ, αν και ο Μάντελμπροτ δεν χρησιμοποιεί τον όρο στη διατριβή, καθώς τον εισηγήθηκε το 1975. Η διατριβή αυτή αποτελεί την πρώτη του Μάντελμπροτ πάνω στο θέμα των φράκταλ.

Ο Μάντελμπροτ τόνισε ότι η χρήση των φράκταλς προσφέρει ρεαλιστικά και χρήσιμα μοντέλα για την περιγραφή πολλών “τραχειών” φαινομένων στον πραγματικό κόσμο. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι “η πραγματική τραχύτητα είναι συχνά φράκταλ και μπορεί να μετρηθεί.”

Αν και ο Μάντελμπροτ επινόησε τον όρο «φράκταλ», μερικά από τα μαθηματικά αντικείμενα που παρουσιάζονται στο βιβλίο του Η μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης είχαν περιγραφεί προηγουμένως από άλλoυς μαθηματικούς. Πριν τον Μάντελμπροτ, ωστόσο, είχαν θεωρηθεί ως απομονωμένα παράδοξα με μη φυσικές ιδιότητες. Ο Μάντελμπροτ έφερε αυτά τα αντικείμενα μαζί για πρώτη φορά και τα μετέτρεψε σε βασικά εργαλεία στη μακροπρόθεσμη προσπάθεια της επιστήμης να επεκταθεί και να εξηγήσει μη ομαλά, “τραχιά” αντικείμενα στον πραγματικό κόσμο. Η μέθοδος της έρευνάς του ήταν τόσο παλιά όσο και νέα:

Το είδος γεωμετρίας, που σταδιακά προτίμησα είναι το παλαιότερο, το πιο συγκεκριμένο και το πιο περιεκτικό, εμπλουτισμένο με οπτικά και γραφικά είτε χειρόγραφα είτε με τη βοήθεια του υπολογιστή… φέρνοντας ένα στοιχείο ενότητας στους κόσμους της γνώσης και του συναισθήματος… και, άθελά του, ως μπόνους, δημιουργεί ομορφιά.

Τα φράκταλς συναντώνται επίσης σε ανθρώπινες δραστηριότητες, όπως η μουσική, η ζωγραφική, η αρχιτεκτονική, και στο χρηματιστήριο. Ο Μάντελμπροτ πίστευε ότι τα φράκταλς, απείχαν πολύ από το να είναι αφύσικα και ήταν από πολλές απόψεις πιο διαισθητικά και φυσικά από τα τεχνητά λεία αντικείμενα της παραδοσιακής Ευκλείδειας Γεωμετρίας:

Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι και το γάβγισμα δεν είναι ομαλό ούτε η αστραπή ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή.

Γράφει ο Μάντελμπροτ στην εισαγωγή του πιο γνωστού του βιβλίου Η μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης (The Fractal Geometry of Nature).

Ο Μάντελμπροτ έχει αποκαλεστεί οραματιστής και αιρετικός. Το ανεπίσημο και παθιασμένο στυλ γραφής του και η έμφαση που έδινε στην οπτική και γεωμετρική διαίσθηση (την οποία εμπλούτιζε με την εισαγωγή πολυάριθμων εικόνων) έκανε το βιβλίο του Η μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης προσβάσιμο και κατανοητό και σε μη-ειδικούς. Το βιβλίο προκάλεσε ευρέως το λαϊκό ενδιαφέρον για τα φράκταλς και συνέβαλε στην εξέλιξη της Θεωρίας του Χάους και σε άλλους τομείς της επιστήμης και των μαθηματικών.

Ο Μάντελμπροτ επίσης εφάρμοσε τις ιδέες του στην Κοσμολογία. Το 1974 έδωσε μια νέα εξήγηση στο παράδοξο του Όλμπερς (το αίνιγμα του “σκοτεινού ουρανού τη νύχτα”), καταδεικνύοντας τις συνέπειες της Θεωρίας των Φράκταλς ως ικανές αλλά όχι αναγκαίες για την επίλυση του παραδόξου. Διατύπωσε την άποψη ότι εάν τα άστρα έχουν κατανομή φράκταλ στο Σύμπαν (για παράδειγμα όπως η Σκόνη του Καντόρ), δεν θα είναι απαραίτητο να βασιζόμαστε στη θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης για να εξηγήσουμε το παράδοξο. Το μοντέλο του δεν θα απέκλειε μια Μεγάλη Έκρηξη, αλλά θα εξηγούσε τον σκοτεινό ουρανό, ακόμη και αν αυτή δεν είχε συμβεί.

 

 

Βραβεία και τιμητικές διακρίσεις

Ο Μάντελμπροτ τιμήθηκε με πολυάριθμες διακρίσεις, μεταξύ των οποίων το ιαπωνικό Βραβείο Επιστήμης και Τεχνολογίας, το 2003 και το Βραβείο Βολφ για τη Φυσική το 1993, επειδή «μετέβαλε τη θεώρησή μας για τη φύση». Επίσης ήταν ομιλητής το 2006, στην καθιερωμένη ετήσια διάλεξη που διοργανώνει η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία προς τιμήν του Αϊνστάιν.

Ο μικρός αστεροειδής 27500 Μάντελμπροτ ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του. Το Νοέμβριο του 1990, έγινε Ιππότης της Γαλλικής Λεγεώνας της Τιμής και τον Ιανουάριο του 2006 προήχθη σε Αξιωματικός της.

Η Κληρονομιά και ο Θάνατός του

Ο Μάντελμπροτ πέθανε από καρκίνο του παγκρέατος στην ηλικία των 85 σε έναν ξενώνα στο Κέιμπριτζ της Μασαχουσέτης στις 14 Οκτωβρίου 2010. Αντιδρώντας στην είδηση ​​του θανάτου του, ο μαθηματικός Heinz-Otto Peitgen είπε: «Αν μιλάμε για αντίκτυπο στο εσωτερικό των μαθηματικών, και στις εφαρμογές στις επιστήμες, είναι μια από τις σημαντικότερες προσωπικότητες τα τελευταία πενήντα χρόνια.»

Ο Κρις Άντερσον, επιμελητής του συνεδρίου TED, περιγράφει τον Μάντελμπροτ ως «μια προσωπικότητα που άλλαξε τον τρόπο που βλέπουμε τον κόσμο». Ο Νικολά Σαρκοζί, ο Πρόεδρος της Γαλλίας κατά τον χρόνο του θανάτου του Μάντελμπροτ, δήλωσε ότι ο Μάντελμπροτ είχε «ένα ισχυρό μυαλό που ποτέ δεν δίστασε να καινοτομήσει και να σπάσει τις προκαταλήψεις. Το έργο του αναπτύχθηκε εξ ολοκλήρου εκτός της έρευνας που ακολουθεί το ρεύμα και οδήγησε στη σύγχρονη θεωρία της πληροφορίας».

Η νεκρολογία για τον Μάντελμπροτ στο περιοδικό The Economist επισημαίνει τη φήμη του ως «διασημότητα πέρα ​​από την ακαδημία» και τον επαινεί ως ο «πατέρας της μορφοκλασματικής γεωμετρίας».

Σχετικά άρθρα

Κυνηγήστε μας

6,398ΥποστηρικτέςΚάντε Like
1,713ΑκόλουθοιΑκολουθήστε
713ΑκόλουθοιΑκολουθήστε


Τελευταία άρθρα

- Advertisement -